费马点问题的证明
费马问题是十七世纪法国数学家费马所提出的一个几何问题。它指的是在平面内给定一个三角形，在这个平面内寻求一个点，使得这个点到三角形的三个顶点距离之和最小。接下来，我们一起来探索一下，对于一个锐角三角形来说，如何寻求它的费马点。
如图，已知△ABC，在它的内部确定一点P,使得PA+PB+PC的值最小
探究一：
因为点P是三角形内部一个动点，我们可以先探究P能否使得其到两个顶点距离和最小，如下图，我们不妨先让点P靠近BC边上，这样的话PB+PC的值是不断变小的，当P点落在BC边上时，PB+PC取得最小值，此时PB+PC=BC。
但是，比较尴尬的是,我们发现P在向BC不断靠近的过程中，PA的长度是在不断增加的，即我们能够确定PB+PC的最小值，但是依旧无法判断PA+PB+PC的最小值是多少。同样的道理，当P逐渐靠近AB、AC时，PC、PB的长度在不断增加，因此，想要依靠这样的方式确定PA+PB+PC的最小值就不太靠谱了。
探究二：
费马点问题属于线段最值问题，如何寻求几条线段和的最小值呢，其实利用“两点之间，线段最短”的原理是可以实现的，即把几条“折线段”通过一定的几何变换转化为“直线段”。也就是将AP、BP、CP转化为顺次连接的三条线段，再根据“两点之间，线段最短”确定最小值的情况
首先，我们先对BP+AP进行转化。如图，以AP为边，在AP的右侧做一个等边三角形，即△APE，此时AP=PE，那么BP+AP，就转化为了BP+PE，此时BP+AP的最小值其实就是BE的长
现在，已经将BP、AP两条“折线段”转化成了“直线段”，再来看如何转化PC，此时，以AC为边，在AC的右侧做一个等边三角形，即等边三角形ACF
由于△APE和△ACF均为等边三角形，则AP=AE，AC=AF且∠PAE=∠CAF=60°，易得∠1=∠2，从而证明△APC≌△AEF（SAS），也就得到了PC=EF，即将PC转化成了EF
那么现在求BP+AP+CP的最小值，也就转化为了求BP+PE+EF的最小值。而现在我们惊喜的发现，BP、PE、EF其实就是三条顺次连接的线段，根据“两点之间，线段最短”的原理，此时PA+PB+PC≥BE，即最小值就是BE的长度。而当取最小值BE时，B,P,E,F四个点是共线的。这个时候我们来看一下点P所处的位置有什么特征。
如下图，B,P,E,F四个点是共线的，此时PA+PB+PC取得最小值。由于△APE为等边三角形，因此∠APE和∠AEP均为60°，所以∠APB和∠AEF均为120°，再根据△APC和△AEF全等，可知∠APC=∠AEF=120°，从而得到∠BPC=120°。
现在，我们就可以确定点P在锐角三角形内所处的位置特征了。即当∠APB=∠BPC=∠APC=120°时，PA+PB+PC取得最小值，最小值就是BE的长度，此时P点就是费马点。
如何尺规确定费马点？
我们已经知道了费马点所处的特征，那么现在的问题是如何利用尺规快速的确定费马点点P的具体位置。要解决这个问题，我们首先需要清楚点P所在的线段BE是如何产生的。从图中不难看出，△ACF是以AC为边向右侧所做的一个等边三角形，此时连接BF，则P点位于BF上。那么同样的道理，如果我们以BC为边，向下做一个等边三角形，即△BCG，则此时费马点点P也必然位于线段AG上，也就是说，此时的点P为BF和AG的交点。这样，我们就可以借助尺规作图的方式，将点P确定下来。
总结：
①在锐角三角形ABC内部，如果点P能够使得∠APB=∠BPC=∠APC=120°，则P点即为费马 点
②如何快速确定费马点的位置：分别以AC，BC为边（当然也可以AB为边），向外做等边 三角形ACF和等边三角形BCG，连接BF，AG，此时这两条线段的交点即为费马点点P。
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