费马点定理证明过程(费尔马点证明方法)

费马点问题的证明

费马问题是十七世纪法国数学家费马所提出的一个几何问题。它指的是在平面内给定一个三角形,在这个平面内寻求一个点,使得这个点到三角形的三个顶点距离之和最小。接下来,我们一起来探索一下,对于一个锐角三角形来说,如何寻求它的费马点。

如图,已知△ABC,在它的内部确定一点P,使得PA+PB+PC的值最小

费马点定理证明过程(费尔马点证明方法) 

探究一:

因为点P是三角形内部一个动点,我们可以先探究P能否使得其到两个顶点距离和最小,如下图,我们不妨先让点P靠近BC边上,这样的话PB+PC的值是不断变小的,当P点落在BC边上时,PB+PC取得最小值,此时PB+PC=BC。

费马点定理证明过程(费尔马点证明方法) 

但是,比较尴尬的是,我们发现P在向BC不断靠近的过程中,PA的长度是在不断增加的,即我们能够确定PB+PC的最小值,但是依旧无法判断PA+PB+PC的最小值是多少。同样的道理,当P逐渐靠近AB、AC时,PC、PB的长度在不断增加,因此,想要依靠这样的方式确定PA+PB+PC的最小值就不太靠谱了。

探究二:

费马点问题属于线段最值问题,如何寻求几条线段和的最小值呢,其实利用“两点之间,线段最短”的原理是可以实现的,即把几条“折线段”通过一定的几何变换转化为“直线段”。也就是将AP、BP、CP转化为顺次连接的三条线段,再根据“两点之间,线段最短”确定最小值的情况

首先,我们先对BP+AP进行转化。如图,以AP为边,在AP的右侧做一个等边三角形,即△APE,此时AP=PE,那么BP+AP,就转化为了BP+PE,此时BP+AP的最小值其实就是BE的长

费马点定理证明过程(费尔马点证明方法) 

现在,已经将BP、AP两条“折线段”转化成了“直线段”,再来看如何转化PC,此时,以AC为边,在AC的右侧做一个等边三角形,即等边三角形ACF

费马点定理证明过程(费尔马点证明方法) 

由于△APE和△ACF均为等边三角形,则AP=AE,AC=AF且∠PAE=∠CAF=60°,易得∠1=∠2,从而证明△APC≌△AEF(SAS),也就得到了PC=EF,即将PC转化成了EF

那么现在求BP+AP+CP的最小值,也就转化为了求BP+PE+EF的最小值。而现在我们惊喜的发现,BP、PE、EF其实就是三条顺次连接的线段,根据“两点之间,线段最短”的原理,此时PA+PB+PC≥BE,即最小值就是BE的长度。而当取最小值BE时,B,P,E,F四个点是共线的。这个时候我们来看一下点P所处的位置有什么特征。

如下图,B,P,E,F四个点是共线的,此时PA+PB+PC取得最小值。由于△APE为等边三角形,因此∠APE和∠AEP均为60°,所以∠APB和∠AEF均为120°,再根据△APC和△AEF全等,可知∠APC=∠AEF=120°,从而得到∠BPC=120°。

费马点定理证明过程(费尔马点证明方法) 

现在,我们就可以确定点P在锐角三角形内所处的位置特征了。即当∠APB=∠BPC=∠APC=120°时,PA+PB+PC取得最小值,最小值就是BE的长度,此时P点就是费马点。

如何尺规确定费马点?

我们已经知道了费马点所处的特征,那么现在的问题是如何利用尺规快速的确定费马点点P的具体位置。要解决这个问题,我们首先需要清楚点P所在的线段BE是如何产生的。从图中不难看出,△ACF是以AC为边向右侧所做的一个等边三角形,此时连接BF,则P点位于BF上。那么同样的道理,如果我们以BC为边,向下做一个等边三角形,即△BCG,则此时费马点点P也必然位于线段AG上,也就是说,此时的点P为BF和AG的交点。这样,我们就可以借助尺规作图的方式,将点P确定下来。

费马点定理证明过程(费尔马点证明方法) 

总结:

①在锐角三角形ABC内部,如果点P能够使得∠APB=∠BPC=∠APC=120°,则P点即为费马 点

②如何快速确定费马点的位置:分别以AC,BC为边(当然也可以AB为边),向外做等边 三角形ACF和等边三角形BCG,连接BF,AG,此时这两条线段的交点即为费马点点P。

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