雅可比行列式怎么计算(雅可比行列式的意义)

在呼唤雅可比

今天小天整理留言的时候,看到有模友留下了这么一条留言:

雅可比行列式怎么计算(雅可比行列式的意义) 

雅可比行列式怎么计算(雅可比行列式的意义) 

恭喜你!你被翻牌……哦不,你的愿望实现了

不过在此之前,小天需要先介绍一下他的粑粑——多产堪比欧拉,被广泛认为是历史上三大最具运算能力的数学家之一的雅可比先生。

雅可比行列式怎么计算(雅可比行列式的意义) 

卡尔·雅可比

1804年12月10日,卡尔·雅可比(Carl Gustav Jacob Jacobi)出生于普鲁士的一个殷实犹太人家庭,成为家中的老二,父亲(Simon Jacobi)是一位成功的银行家。

雅可比是个聪明的孩子,幼年跟随舅舅学习古典语言和数学,12岁进入波茨坦大学预科学习,不到半年跳级到高年级,甚至在自学欧拉的《无穷小分析引论》后尝试解决五次方程式。(每当此时,小天就十分怀疑数学家的成长套路都是一个模子印出来的)

雅可比行列式怎么计算(雅可比行列式的意义) 

当时的大学并不接受16岁以下的学生,因此雅可比在1821年才得以入读柏林大学。

雅可比对哲学、数学等领域均怀有浓厚的兴趣,曾磨刀霍霍准备向“全才”发起进攻。奈何数学的磁场实在太强,最终他义无反顾地投奔了数学。(据说是因为数学最难,雅可比才选择它的╮(╯▽╰)╭)

雅可比行列式怎么计算(雅可比行列式的意义) 

这一投,无疑给数学史添上了浓墨重彩的一笔。

雅可比不仅天赋高,人还特别勤奋,一直不知疲倦地进行着科研与教学,让他年纪轻轻就收获了一堆荣誉。

1825年,获得柏林大学理学博士学位,并留校任教;1827年,被选为柏林科学院院士(同时是伦敦皇家学会会员,巴黎等科学院院士);1829年,成为哥尼斯堡大学数学系的终身教授,并担任主席15年;

雅可比行列式怎么计算(雅可比行列式的意义) 

19世纪的数学以单复变函数为主要研究领域,而椭圆函数是其中一颗螺丝钉。1827年,雅可比迷上了它,埋头苦干2年后发表的人生第一篇杰作《椭圆函数理论的新基础》(椭圆函数领域关键性著作),让当时的研究有了质一般的飞跃。

雅可比与阿贝尔几乎同时各自独立发现了椭圆函数,因此被公认为椭圆函数理论独立奠基人。而该理论的出现不仅引进了θ函数,还为推动复变函数理论的发展和n个变量的阿贝尔函数论的产生带来了不可磨灭的影响。

雅可比行列式怎么计算(雅可比行列式的意义) 

椭圆函数,源自:Wikipedia

雅可比行列式怎么计算(雅可比行列式的意义) 

紧接着,拘泥于一个领域,已经远远无法满足日益膨胀的欲望后,雅可比开始疯狂扫荡各大数学分支,甚至是物理学分支。

得益于强大运算天赋,他最终在力学和数学物理等应用领域也收获了一番成就。

用于表述经典力学的哈密顿-雅可比理论是唯一可用于量子力学的理论;第一个将椭圆函数理论应用于数论研究的人;是决定因素理论的早期创始人之一;… …

雅可比行列式怎么计算(雅可比行列式的意义) 

扫荡过程中,行列式理论也沦为了他的囊中之物。而在他发表的著名论文《论行列式的形成和性质》中所引进的函数行列式正是大家熟悉的“雅可比行列式”。

此文标志着行列式系统理论的建成,文中不仅求出了函数行列式的导数公式,还证明了函数之间是否相关的条件就是雅可比行列式是否为零,并给出了该行列式的乘积定理。

若雅可比行列式恒等于零,函数组(u1,…,un)是函数相关。

雅可比行列式怎么计算(雅可比行列式的意义) 

雅可比行列式在多重积分的变量替换中占据着决定性的作用,势必引起人们的全方位关注。

雅可比行列式怎么计算(雅可比行列式的意义) 

雅可比粑粑:我儿砸就长这样

雅可比行列式怎么计算(雅可比行列式的意义) 

可以看出雅可比行列式辨识度很高,比常规的行列式长得更有特色,构成元素竟然均为偏导数。

一个多变量函数的偏导数是指它关于其中一个变量的导数,而其他变量保持恒定。比如:若函数f(x,y)保持x值不变,改变y值可得到对应的f0(x,y+△y)。当△x→0时,f0-f/△y的极限存在,则可以称该比值为f对y的偏导数,记作:∂f/∂y;同理,保持y值不变情况下的偏导数,记作:∂f/∂x。

雅可比行列式怎么计算(雅可比行列式的意义) 

众所周知,矩阵和行列式是一对好基友,经常结伴出行。因此在介绍雅可比行列式的定义之前,小天打算先给大家讲讲雅可比矩阵。

假设f: Rn→Rm为一个从欧式n维空间转换到欧式m维空间的函数,并且由m个实函数组成: y1(x1,…,xn), …, ym(x1,…,xn)。若将该函数的偏导数(若存在)组成一个m行n列的矩阵, 那么这个矩阵就是所谓的雅可比矩阵:

雅可比行列式怎么计算(雅可比行列式的意义) 

雅可比行列式怎么计算(雅可比行列式的意义) 

当m=n时,雅可比矩阵妥妥地变成一个方阵,该方阵的行列式则可称为雅可比行列式。

雅可比矩阵重要之处在于它能够体现一个可微方程与给出点(设该点为点A)的最优线性逼近,因此雅可比行列式可用于求解点A的微分方程组的近似解。

如下图所示,映射f: R2→R2将左边的正方形变成右边扭曲的平行四边形,其中右边半透明白色区域是扭曲图形的最优线性近似,而平行四边形面积与原始正方形面积的比值则是雅可比行列式。

雅可比行列式怎么计算(雅可比行列式的意义) 

图一,源自: Wikipedia

简单来说,在n维欧几里得空间中,行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响,代表着变换后的缩放比例,而雅可比行列式也不例外。

就拿图一来讲,图中的映射并非线性,但其微元变换实际上可以看做是线性的,因此雅可比行列式实际意义就是坐标系变换后单位微元的比率或倍数。

雅可比行列式怎么计算(雅可比行列式的意义) 

现在让我们以二维空间为例,看看究竟怎么一回事。

设f=(x,y),其中x=x(u,v),y=y(u,v),可求得偏导数分别为:

雅可比行列式怎么计算(雅可比行列式的意义) 

那么函数的雅可比矩阵为:

雅可比行列式怎么计算(雅可比行列式的意义) 

那么,雅可比行列式就是:

雅可比行列式怎么计算(雅可比行列式的意义) 

还是看图一,假设图中正方形所在的坐标系是uv坐标系,而平行四边形所在的坐标系是xy坐标系,平行四边形的面积微分用dB表示,可得:

雅可比行列式怎么计算(雅可比行列式的意义) 

雅可比行列式怎么计算(雅可比行列式的意义) 

今天提到的雅可比行列式只是一阶行列式,大家可以思考一下如何表示雅可比行列式的二阶、三阶形式哦。

本文内容由互联网用户自发贡献,该文观点仅代表作者本人。爱坤分享仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容, 请发送邮件至 3252784850@qq.com 举报,一经查实,本站将于三个工作日内删除。文章链接:https://www.sfyjdwx.com/n/51694.html

(0)

相关推荐

  • cbr文件如何打开(cbr文件用什么打开)

    三维图形图像软件:Blender 具体介绍   Blender是一款免费开源的三维图形图像创作软件,提供从建模、动画、材质、渲染到音频处理、视频剪辑、脚本控制等一系列3D、动画短片制作解决方案,且自带一个游戏引擎用来制作游戏。拥有方便在不同工作下使用的多种用户界面,内置绿屏抠像、摄像机反向跟踪、遮罩处理、后期结点合成等高级影视解决方案。内置Cycl…

    2022-11-25
    24
  • 电脑连不上无线网络是什么原因(电脑连不上无线网手机却能连上)

    大家好,这期继续教大家排除网络小故障,那就是电脑连不上网手机可以连接上wifi,这是什么原因呢?   遇到这种情况,那是最简单的网络故障了,而且问题相当明确! 这种情况我们只要简单地推理一下,就可以顺利地找到故障点在哪! 首先,手机是可以连接上wifi的,就说明网络本身没有问题,那电脑为什么会连不上网呢? 其实,不用想问题也是出在了电脑本身上,那么…

    2022-12-08
    24
  • dcc是什么意思啊(汽车4s店dcc是什么意思)

    DCC目前是经销商销售不可或缺的重要销售渠道之一,但随著市场/科技的改变,客户在购车前期的探寻阶段也发生了改变,再加上客户多平台咨询/平台间的竞争,造成了DCC线索的有效性与转化都在逐步下滑中。 潜客集结项目总结近四年的DCC模块辅导经验,将经销商内部对DCC共性问题进行说明,主要目的是“先安内、再攘外”,外部环境经销商无法控制,但内部的改善调整是经销商可控…

    2022-12-20
    6
  • 十五的月亮十六圆寓意含义(十五的月亮十六圆寓意)

    中秋佳节来了!祝各位小伙伴中秋快乐!花好月圆! 中国古人有很多吟咏月亮的诗篇,李白的“举杯邀明月,对影成三人”,苏轼的“人有悲欢离合,月有阴晴圆缺,此事古难全”,欧阳修的“月上柳梢头,人约黄昏后”,都是千古传颂的名篇。   此外,还有很多关于月亮的俗语,比如我小时候就经常听到一句话:十五的月亮十六圆,大人说这是因为农历十六的时候月亮更圆。真的是这样…

    2023-01-13
    2
  • 定型喷雾怎么用(定型喷雾怎么用才显得头发很蓬松)

    为什么偶像里的女主角都是发量大到惊人,而且她们的头发从来都不会塌,总是蓬松减龄有活力。而生活中的我们,扎起头发来不仅额头突还显老,可见学会蓬松高颅顶,对修饰脸型和气质有多重要。   有些友友们会说,我没有漂亮的脸蛋,也不靠脸吃饭,学这些干嘛?那真的是大错特错了,你可以不漂亮,但能改变我们,让我们能比原来的自己更美一些的小技巧,你一定要学会,知识学到…

    2022-12-29
    11
  • 宠物小精灵名字大全图(宠物小精灵名字可爱)

    宠物小精灵在国内有好多种翻译,有叫作《神奇宝贝》还有叫《口袋妖怪》还有些是《精灵宝可梦》,其实叫哪一种都可以,只有是我们喜欢这部作品,就可以了。 在“宠物小精灵”中让你选最可爱的7只精灵,你会选谁呢?以下是我个人认为最可爱7只精灵,不知道有没有你喜欢的呢? 一:梦幻   梦幻是一只神级宝可梦,外表上有点像一只粉红色的小猫咪,尾巴非常长,大约是身体的…

    2022-11-23
    16
  • 笔记本电脑键盘坏了怎么办(电脑键盘失灵怎么解决)

    笔记本电脑进入家家户户,基本上成年或者上了大学,都有一台笔记本电脑,它已经成为必备品。因为相比台式电脑,其体积小、携带方便,使用的效率也很高原因,笔记本被经常使用。 笔记本是电子设备,只要是电子设备总有出问题的时候,我们知道,笔记本上面有自带的键盘,最近有笔记本电脑使用的却称笔记本键盘打不出字的情况,那么怎么办?下面,小编就来跟用户们分享笔记本键盘失灵的解决…

    2023-01-27
    4
  • 曹操墓找到了吗(曹操墓葬在哪里)

    2006年春节期间,安阳的一位村民吃完饭后来到自家地里劳作。 当这位村民开始浇水的时候,却发现了不对劲的地方,无论他怎么往地里浇水,这些水都流向了同一个方向。 随即,他就在自家的地里找到了一个足足有一米宽的盗洞。 这位村民瞬间吃了一惊,一个可怕的想法在他脑海里一闪而过:难道说自家地下有古墓? 想到这里,村民不敢怠慢,立刻将此事上报给了当地的村干部,不久后,考…

    2022-11-24
    17
  • dota巫医出装(dota2巫医出装)

    众所周知,Dota2这款游戏是一个团队型的游戏,不管是队内大哥还是辅助都是团队中最重要的一员,大哥前期负责打钱后期带领团队走向胜利,辅助做好视野,前期小规模团战给好技能跟控制,保证己方大哥的发育不受影响,所以各有各的用处,那么刚玩Dota2这款游戏的新手玩家,我推荐给大家一个英雄:巫医。   下面我将从巫妖技能、打法及出装三方面来介绍巫医。 一、技…

    2022-11-23
    54
  • 昂达主板是几线品牌(手把手教你选电脑主板)

    【1】概述 阿缩斯、军规星、雕牌、败家之眼、妖板厂等,不同的品牌都有各自的受众群体。没有“XX品牌质量好”一说,因为从历史发展角度看,每个品牌都推出过设计上存在“大坑”或故障率颇高的产品。风水轮流转,各大厂商一般都是轮流给消费者挖坑。   【2】“笼统”划线 一线品牌:华硕ASUS、微星MSI、技嘉AORUS 准一线线品牌:华擎ASRock,精英 …

    2023-01-23
    4